Объем тетраэдра. Правильный тетраэдр (пирамида) Как начертить правильный тетраэдр

ТЕКСТОВАЯ РАСШИФРОВКА УРОКА:

Добрый день! Мы продолжаем с вами изучать тему: «Параллельность прямых и плоскостей».

Я думаю, уже понятно, что сегодня речь пойдет о многогранниках- поверхностях геометрических тел, составленных из многоугольников.

А именно о тетраэдре.

Проводить изучение многогранников будем по плану:

1. определение тетраэдра

2. элементы тетраэдра

3. развертка тетраэдра

4. изображение на плоскости

1. построим треугольник АBC

2. точка D, не лежащая в плоскости этого треугольника

3. соединяем точку D отрезками с вершинами треугольника ABC. Получим треугольники DAB, DBC и DCA.

Определение: Поверхность составленная из четырех треугольников АBC, DAB, DBC и DCA называется тетраэдром.

Обозначение: DABC.

Элементы тетраэдра

Треугольники, из которых состоит тетраэдр, называются гранями, их стороны ребрами, а вершины - вершинами тетраэдра.

Сколько граней, ребер и вершин имеет тетраэдр?

Тетраэдр имеет четыре грани, шесть ребер и четыре вершины

Два ребра тетраэдра, не имеющие общих вершин, называются противоположными.

На рисунке противоположными являются ребра AD и BC, BD и AC, CD и AB

Иногда выделяют одну из граней тетраэдра и называют ее основанием, а три другие - боковыми гранями.

Развертка тетраэдра.

Для изготовления тетраэдра из бумаги вам потребуется следующая развертка,

ее нужно перенести на плотную бумагу, вырезать, согнуть по пунктирным линиям и склеить.

На плоскости тетраэдр изображается

В виде выпуклого или невыпуклого четырехугольника с диагоналями. При этом штриховыми линиями изображаются невидимые ребра.

На первом рисунке AC- невидимое ребро,

на втором - EK, LK и KF.

Решим несколько типовых задач на тетраэдр:

Найти площадь развертки правильного тетраэдра с ребром 5 см.

Решение. Начертим развертку тетраэдра

(на экране появляется развертка тетраэдра)

Данный тетраэдр состоит из четырех равносторонних треугольников, следовательно, площадь развертки правильного тетраэдра равна площади полной поверхности тетраэдра или площади четырех правильных треугольников.

Площадь правильного треугольника ищем по формуле:

Тогда получаем площадь тетраэдра равна:

Подставим в формулу длину ребра а=5 см,

получается

Ответ: Площадь развертки правильного тетраэдра

Постройте сечение тетраэдра плоскостью проходящей через точки M, N и K.

а) Действительно, соединим точки M и N (принадлежат грани ADC), точки M и K(принадлежат грани ADB), точки N и K (грани DBC). Сечением тетраэдра является треугольник MKN.

б) Соединим точки M и K (принадлежат грани ADB), точки K и N(принадлежат грани DCB), далее прямые MK и AB продолжить до пересечения и поставить точку P. Прямая PN и точка T лежат в одной плоскости АВС и теперь можно построить пересечение прямой МК с каждой гранью. В результате получается четырехугольник MKNT, который является искомым сечением.

Тетраэдр – самая простая фигура из многоугольников. Он состоит из четырех граней, каждая из которых представляет собой равносторонний треугольник, при этом каждая из сторон соединяется с другой всего лишь одной гранью. При изучении свойств этой трехмерной геометрической фигуры для наглядности лучше всего сделать модель тетраэдра из бумаги.

Как склеить тетраэдр из бумаги?

Для построения простого тетраэдра из бумаги нам понадобится:

• собственно бумага (плотная, можно использовать картон);
• транспортир;
• линейка;
• ножницы;
• клей;
• тетраэдр из бумаги, схема.

Ход работы

• если бумага очень плотная, то по местам сгибов следует провести твердым предметом, например, ребром линейки;
• для того, чтобы получить разноцветный тетраэдр, можно раскрасить грани или выполнить развертку на листах цветной бумаги.

Как из бумаги сделать тетраэдр без склеивания?

Предлагаем вашему вниманию мастер-класс, в котором рассказывается, как собрать 6 тетраэдров из бумаги в единый модуль при помощи техники оригами.

Нам понадобится:

• 5 пар квадратных листов бумаги различных цветов;
• ножницы.

Ход работы

1. Каждый лист бумаги делим на три равные части, разрезаем и получаем полосы, соотношение сторон в которых 1 к 3. В результате получаем 30 полос, из которых и будем складывать модуль.
2. Кладем полосу пред собой лицевой стороной вниз, вытянув по горизонтали. Сгибаем пополам, разворачиваем и подгибаем к середине края.

3. На дальнем правом краю сгибаем угол так, чтобы сделать стрелку, поведя ее на 2-3 см от края.

4. Аналогичным образом сгибаем левый угол (фото как из бумаги сделать тетраэдр 3).

5. Перегибаем правый верхний угол маленького треугольничка, который получился в результате предыдущей операции. Таким образом, боковые стороны сложенного края окажутся под одинаковым углом.

6. Разворачиваем полученную складку.
7. Разворачиваем левый уголок и по уже имеющимся линиям сгиба заворачиваем угол внутрь как показано на фото.

8. В правом углу сгибаем верхний край вниз таким образом, чтобы он пересекся со складкой, сделанной во время операции №3.

9. Внешний край еще раз заворачиваем направо, используя складку, выполненную в результате операции №3.
10. Предыдущие операции повторяем с другого конца полоски, но так, чтобы маленькие складочки оказались на параллельных концах полоски.

11. Полученную полоску складываем пополам по длине и даем ей немого раскрыться самопроизвольно. Точный угол раскрытия станет понятен потом, при окончательной сборке модели. Элемент готов, теперь аналогичным образом делаем еще 29.
12. Звено переворачиваем таким образом, чтобы во время сборки была видна его внешняя сторона. Соединяем два звена, вставив язычок в кармашек, образованный маленьким внутренним углом.

13. Соединенные звенья должны образовывать угол в 60 ⁰, под которым будут присоединяться и другие звенья (фото как из бумаги сделать тетраэдр 13).

14. Добавляем третье звено ко второму, а второе соединяем с первым. Получается конец фигуры, на вершине которой соединяются все три ее звена.

15. Аналогичным образом добавляем еще три звена. Первый тетраэдр готов.

16. Углы у готовой фигуры могут быть не совсем одинаковыми, поэтому для более точной подгонки следует оставлять открытыми отдельные углы всех последующих тетраэдров.

17. Между собой тетраэдры следует соединять так, чтобы угол одного проходил сквозь отверстие в другом.

18. Три соединенных между собой тетраэдра.

19. Четыре соединенных между собой тетраэдра.

20. Модуль из пяти тетраэдров готов.

Если вы справились с тетраэдром, можно продолжить и смастерить

Правильный тетраэдр. Составлен из четырёх равносторонних треугольников. Каждая его вершина является вершиной трёх треугольников. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине равна 180?. Рис. 1.

Размеры: 445 х 487 пикселей, формат: jpg. Чтобы бесплатно скачать картинку для урока геометрии, щёлкните по изображению правой кнопкой мышки и нажмите «Сохранить изображение как...». Для показа картинок на уроке Вы также можете бесплатно скачать презентацию «Многогранник 2.ppt» целиком со всеми картинками в zip-архиве. Размер архива - 197 КБ.

Правильный многогранник

«Доказательство теоремы Пифагора» - Доказательство Евклида. Доказательства теоремы. Алгебраическое доказательство. Геометрическое доказательство. Значение теоремы Пифагора. Рассмотрим квадрат, показанный на рисунке. И ныне теорема Пифагора Верна, как и в его далёкий век. Формулировка теоремы. Теорема Пифагора - это одна из самых важных теорем геометрии.

«Правильные многогранники» - Правильный октаэдр. Правильный додекаэдр. Кристалл сурьменистого сернокислого натрия имеет форму тетраэдра. Названия многогранников. Кристаллы поваренной соли (NaCl) имеют форму куба. Правильный икосаэдр составлен из двадцати равносторонних треугольников. Правильный тетраэдр составлен из четырёх равносторонних треугольников.

«История геометрии» - VI век до нашей эры. В геометрии много формул, фигур, теорем, задач, аксиом. Средние века. Фалес предложил способ определения расстояния до корабля на море. Древний Египет. В целом творение Евклида величественно. Фалес вычислил высоту египетской пирамиды Хеопса по длине отбрасываемой тени. В геометрии Любачевского сумма углов треугольника меньше 180°, в ней нет подобных фигур.

«Угол между векторами» - Рассмотрим направляющие прямых D1B и CB1. Найти угол между прямыми ВD и CD1. Косинус угла между векторами. Найдем координаты векторов DD1 и MN. Скалярное произведение векторов. Как находят расстояние между точками? Угол между векторами. Вычисление углов между прямыми и плоскостями. Направляющий вектор прямой.

«Геометрия Лобачевского» - На рисунке буквы расположены параллельно (стоят прямо) или нет? Неевклидова геометрия единственно правильная? Риманова геометрия получила своё название по имени Б.Римана, который заложил её основы в 1854. Наука никогда не будет стоять на месте. На рисунке изображена спираль или несколько окружностей?

«Равнобедренный треугольник» - Боковая сторона. BD - медиана. Высота. Основание. Равнобедренный треугольник. Высота равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является медианой и биссектрисой. АВ и ВС – боковые стороны. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. BD - высота. ВD - биссектриса. Треугольник, все стороны которого равны, называется равносторонним.

Всего в теме 15 презентаций

Тетраэдр в переводе с греческого означает "четырехгранник". Эта геометрическая фигура обладает четырьмя гранями, четырьмя вершинами и шестью ребрами. Грани представляют собой треугольники. По сути, тетраэдр - это Первые упоминания о многогранниках появились еще задолго до существования Платона.

Сегодня поговорим об элементах и свойствах тетраэдра, а также узнаем формулы нахождения у этих элементов площади, объема и других параметров.

Элементы четырехгранника

Отрезок, выпущенный из любой вершины тетраэдра и опущенный на точку пересечения медиан грани, являющейся противоположной, называется медианой.

Высота многоугольника представляет собой нормальный отрезок, опущенный из вершины напротив.

Бимедианой называется отрезок, соединяющий центры скрещивающихся ребер.

Свойства тетраэдра

1) Параллельные плоскости, которые проходят через два скрещивающихся ребра, образуют описанный параллелепипед.

2) Отличительным свойством тетраэдра является то, что медианы и бимедианы фигуры встречаются в одной точке. Важно, что последняя делит медианы в отношении 3:1, а бимедианы - пополам.

3) Плоскость разделяет тетраэдр на две равные по объему части, если проходит через середину двух скрещивающихся ребер.

Виды тетраэдра

Видовое разнообразие фигуры достаточно широко. Тетраэдр может быть:

• правильным, то есть в основании равносторонний треугольник;
• равногранным, у которого все грани одинаковы по длине;
• ортоцентрическим, когда высоты имеют общую точку пересечения;
• прямоугольным, если плоские углы при вершине нормальные;
• соразмерным, все би высоты равны;
• каркасным, если присутствует сфера, которая касается ребер;
• инцентрическим, то есть отрезки, опущенные из вершины в центр вписанной окружности противоположной грани, имеют общую точку пересечения; эту точку именуют центром тяжести тетраэдра.

Остановимся подробно на правильном тетраэдре, свойства которого практически не отличаются.

Исходя из названия, можно понять, что так он называется потому, что грани являют собой правильные треугольники. Все ребра этой фигуры конгруэнтны по длине, а грани - по площади. Правильный тетраэдр - это один из пяти аналогичных многогранников.

Формулы четырехгранника

Высота тетраэдра равна произведению корня из 2/3 и длины ребра.

Объем тетраэдра находится так же, как объем пирамиды: корень квадратный из 2 разделить на 12 и умножить на длину ребра в кубе.

Остальные формулы для расчета площади и радиусов окружностей представлены выше.

Рассмотрим произвольный треугольник ABC и точку D , не лежащую в плоскости этого треугольника. Соединим отрезками эту точку с вершинами треугольника ABC . В результате получим треугольники ADC , CDB , ABD . Поверхность ограниченная четырьмя треугольниками ABC , ADC , CDB и ABD называется тетраэдром и обозначается DABC .
Треугольники, из которых состоит тетраэдр, называются его гранями.
Стороны данных треугольников называют ребрами тетраэдра. А их вершины – вершинами тетраэдра

Тетраэдр имеет 4 грани , 6 ребер и 4 вершины .
Два ребра, которые не имеют общей вершины, называются противоположными.
Зачастую для удобства, одну из граней тетраэдра называют основанием , а оставшиеся три грани боковыми гранями.

Таким образом, тетраэдр – это простейший многогранник, гранями которого являются четыре треугольника.

Но также верно и утверждение, что любая произвольная треугольная пирамида является тетраэдром. Тогда также верно, что тетраэдром называют пирамиду, в основании которой лежит треугольник.

Высотой тетраэдра называется отрезок, который соединяет вершину с точкой, расположенной на противоположной грани и перпендикулярный к ней.
Медианой тетраэдра называется отрезок, который соединяет вершину с точкой пересечения медиан противоположной грани.
Бимедианой тетраэдра называется отрезок, который соединяет середины скрещивающихся ребер тетраэдра.

Так как тетраэдр – это пирамида с треугольным основанием, то объем любого тетраэдра можно рассчитать по формуле

• S – площадь любой грани,
• H – высота, опущенная на эту грань

Правильный тетраэдр – частный вид тетраэдра

Тетраэдр, у которого все грани равносторонние треугольник называется правильным.
Свойства правильного тетраэдра:

• Все грани равны.
• Все плоские углы правильного тетраэдра равны 60°
• Так как каждая его вершина является вершиной трех правильных треугольников, то сумма плоских углов при каждой вершине равна 180°
• Любая вершина правильного тетраэдра проектируется в ортоцентр противоположной грани (в точку пересечения высот треугольника).

Пусть нам дан правильный тетраэдр ABCD с ребрами равными a . DH – его высота.
Произведем дополнительные построения BM – высоту треугольника ABC и DM – высоту треугольника ACD .
Высота BM равна BM и равна
Рассмотрим треугольник BDM , где DH , являющаяся высотой тетраэдра также и высота данного треугольника.
Высоту треугольника, опущенную на сторону MB можно найти, воспользовавшись формулой

, где
BM=, DM=, BD=a,
p=1/2 (BM+BD+DM)=
Подставим эти значения в формулу высоты. Получим


Вынесем 1/2a. Получим

Применим формулу разность квадратов

После небольших преобразований получим


Объем любого тетраэдра можно рассчитать по формуле
,
где ,

Подставив эти значения, получим

Таким образом формула объема для правильного тетраэдра

где a –ребро тетраэдра

Вычисление объема тетраэдра, если известны координаты его вершин

Пусть нам даны координаты вершин тетраэдра

Из вершины проведем векторы , , .
Для нахождения координат каждого из этих векторов вычтем из координаты конца соответствующую координату начала. Получим