Провести ось симметрии. Урок математики

«Задания на симметрию» - Пятиугольная антипризма. Осевая симметрия. Тетраэдр. Наклонный параллелепипед. Правильная четырехугольная пирамида. Пятиугольная призма. Квадраты. Зеркальная симметрия. Фигура. Курносый куб. Правильный тетраэдр. Плоскости симметрии. Куб. Два центра симметрии. Ромбокубооктаэдр. Примеры центрально-симметричных и не центрально-симметричных фигур.

«Орнамент» - С помощью осевой симметрии и параллельного переноса. Параллельный перенос. С помощью параллельного переноса. б) На полосе. Линейный (варианты расположения): Параллельный перенос Центральная симметрия Осевая симметрия Поворот. Растительный. а) Внутри полосы. Преобразования, используемые для создания орнамента:

«Симметрия вокруг нас» - Симметрия властвует. Все виды осевой симметрии. Зеркальная. Вращения (поворотная). Симметрия. Греческое слово симметрия означает «пропорциональность», «гармония». Осевая симметрия относительно прямой. Вертикальная. Центральная. Горизонтальная. Центральная относительно точки. Вращения. Произвольная. Вокруг нас.

«О симметрии» - Определение. Симметрия в природе. Симметрия в технике. В древности слово «симметрия» употреблялось как «гармония», «красота». Орнамент. Палиндром - это абсолютное проявление симметрии в литературе. Симметрия в архитектуре. Задачи. Знакомство учащихся с симметрией в литературе, в архитектуре, природе, технике, быту….

«Задачи по осевой симметрии» - Сколько осей симметрии имеет правильный n - угольник. Две фигуры F и F" называются симметричными. Изобразите треугольник, симметричный треугольнику OAB. Какие точки называются симметричными. Треугольник A’B’C’ симметричен треугольнику ABC. Укажите буквы латинского алфавита. Приведите пример фигуры. Свойства.

«В мире симметрии» - Большинство зданий зеркально симметричны. Зачем человеку надо знать о симметрии? В переводе с греческого термин "симметрия"- соразмерность (однородность, пропорциональность, гармония). Симметрия в природе Симметрия в технике Симметрия в архитектуре. Орнаменты, фризы имеют в своей основе периодически повторяющийся узор.

Всего в теме 32 презентации

Современная органическая химия немыслима без предсавлений о пространственном строении молекул и его влиянии на ход химических реакций, что составляет предмет стереохимии. В стереохимии используются определенные способы изображения молекул, а также стереохимическая коменклатура. Цель настоящего пособия - познакомить читателя с основными понятиями, которыми оперирует стереохимия. Элементарные сведения по стереохимии изложены в разделах I-IX. В разделе X помещен дополнительный материал, знание которого также поможет успешному изучению курса органической химии.

I. Элементы симметрии.

Для описания пространственного строения молекул важно знание элементов симметрии. Термин "симметрия" интуитивно понятен. Обычно это слово ассоциируется с огрненным камнем, архитектурным сооружением и т.п. Симметричный объект содержит один или ннесколько элементов симметрии, для которых можно дать строгое математическое определение. Ниже приведены простейшие сведения об элементах симметрии.

Центр симметрии (центр инверсии),i

Центром симметрии объекта называется точка i , удовлетворяющая следующим условиям. Для любой точки А, принадлежащей объекту, всегда найдется точка А", также принадлежащая данному объекту такая, что:
а)точки А, i , А" лежат на одной прямой;
б)точки А и А" равноудалены от точки i .

Примеры централъно-симметричных объектов:

Плоскость симметрии

Плоскостью симметрии называется плоскость удовлетворяющая следющим условиям. Для любой точки А, принадлежащей объекту, всегда найдется точка А, также принадлежащая этому объекту такая, что:
а)прямая, проведенная через точки А и А", перпендикулярна плоскости ;
б)точки А и А" равноудалены от плоскости ,

равнобедренный треугольник прямоугольник

(плоскости симметрии перпендикулярны плоскости чертежа и переслкают ее по пунктирным линиям)

Простая ось симметрии n-го порядка C n

Осью симметрии n-ного порядка называется ось, проходящая через данной объект, при повороте вокруг которой на угол 360°/n объект совмещается сам с собой.

Ось Симметрии С 1 (поворот на 360°) называется тривиальным элементом симметрии. Существует также ось симметрии бесконечного порядка С. Поворот вокруг этой оси на любой угол приводит к coвмещению объекта с самим собой (ось, проходящая через центр круга и перпендикулярная его плоскости; любая ось, проходящая через центр шара).

Зеркально-поворотная ось симметрии n - ого порядка S n .

Это сложный элемент симметрии, включающий две операции: поворот вокруг оси на угол 360°/n и отражение в плоскости, перпендикулярной данной оси. При выполнении операций, соотвктствующих оси Sn, объект совмещается сам с собой.

Примером объекта, в котором имеется зеркально-поворотная ось, может служить деревянный квадрат, по углам которого вбиты четыре гвоздя: два сверху и два снизу. Ось S 4 перпендикулярна плоскости квадрата и проходит через его центр. Одного поворота вокруг оси S 4 на 90° недостаточно, чтобы данный объект совпал сам с собой. Для этого необходико последующее отражение в плоскости, перпендикулярной оси S 4 и рассекающей квадрат пополам (нижняя часть квадрата при отражении переходит вверх, верхняя - вниз);

Помимо оси S 4 в данном объекте присутствует также простая поворотная ось C 2 (поворот на 180°), совпадающая с осью S 4 .
Следует земетить, что плоскость симметрии эквивалентна заркально-поворотной оси первого порядка (поворот на 360° и отражение в плоскости); ,

Аналогично, центр симметрии эквивалентен оси симметрии S 2 (поворот на 180 0 и отражение в плоскости, перпендикулярной оси):
"Гаким образом, элементы симметрии составляют группу зеркально-поворотных осей.

Обычный способ изображения молекул в органической химии - это структурные формулы.Они передают порядок связи,атомов:

В случае молекул, имеющих плоское или линейное строение, с помощью таких формул можно адекватно описать также геометрию молекул, например:

Если же в состав молекулы входят: sp 3 -гибридизованные атомы углерода, имеющие тетраэдрическое окружение, структурная формула не может передать реальную геометрию молекул, то есть расположение атомов в пространстве. Этой цели лучше всего отвечают пространственные модели.

Полусферические модели Стюарта - Бриглеба:

Шаро - стержневые модели:

Однако, часто возникает необходимость изобразить пространственное строение молекулы на плоскости. Понятно, что пользоваться рисунками моделей неудобно, да и не всем это под силу. В таких случаях прибегают к помощи различных проекционных формул, которые представляют собой, по существу, проекции шаро-стержневых моделей в том или ином ракурсе.

Дня этана и его производных можно использовать перспективные формулы . Это рисункишаро-стержневых моделей, в которых шары, символизирующие атомы, заменены на символы химических элементов. В перспективных формулах связь С-С как бы удаляется от наблюдателя:

Однако, этот способ не подходит для более сложных молекул, например, бутана. В таких сяучаях наглядность теряется:

Перспективные формулы используют чаше всего для изображения циклических молекул (см. ниже, раздел X). Обычно для изображения пространственного строения молекул на плоскости используют клиновидную проекцию, проекционные формулы Ньюмена и Фишера. Наиболее наглядной является клиновидная проекция.

С принципом построения этой проекции познакомимся на примере молекулы метана.

Мысленно расположим молекулу так, чтобы связи СН 1 и СН 2 оказались в плоскости чертежа (две пересекающиеся прямые задают плоскость). Тогда атом Н 3 будет возвышаться над плоскостью чертежа, закрывая собой атом Н 4 , расположеный под плоскостью. Изобразим связь С-Н 3 с помощью клина, широким концом направленного в сторону атома Н 3 .

По существу, мы получим проекцию молекулы СН 4 на плоскость чертежа, которая в данном случае является плоскостью симметрии молекулы. Для того, чтобы одновременно были видны атомы Н 3 и Н 4 , слегка исказим проекцию. Оставив неизменными связи углерода с Н 1 и Н 2 , немного сместим атом Н 3 вниз, а атом Н 4 - вверх. Связь СН 4 , расположенную под плоскостью чертежа, изобразим пунктиром (I) или штриховым клином, сужающимся в сторону удаленного атона (I "):

Рисунки (I) и (I ") являются клиновидными проекциями молекулы метана. При пользовании этими проекциями необходимо помнить, что связи, изображенные отрезком прямой, находятся в плоскости чертежа. Сплошные клинья символизируют связи, направленные к наблюдателю, а штриховые линии - связи, "уходящие" за плоскость чертежа.

Клиновидную проекцию можно поворачивать на любой угол относительно любой оси, например:

Проекция (I"") соответствует такому расположению молекулы метана, при котором ни один из атомов водорода не лежит в плоскости чертежа.
Клиновидную проекцию метана можно использовать для построения проекций других углеводородов, например:

Обратите внимание на то, что в проекциях (2) и (3) связи С-С находятся в плоскости чертежа. В этой же плоскости расположены только две связи С-Н. Иногда клиновидную проекцию этана изображают для такого расположения молекулы относительно плоскости чертежа, при котором ни одна из связей С-Н не находится в этой плоскости (2"):

Клиновидные проекции неразветвленных углеводородов обычно изображают в виде зигзагообразной цепи, все связи С-С и две концевые связи С-Н которой расположены в плоскости чертежа. При этом окружение каждой связи С-С должно быть таким же, как я в проекции молекулы этана (2). Сами же атомы углерода можно не изображать. Они подразумеваются в углах зигзага:

Разумеется, клиновидную проекцию можно использовать для изображения не только неразветвленнах углеводородов, но г других органических соединений, например:

В настоящее время широкое распространение получил сокращенный вариант проекций молекул в виде зигзагов, в углах и на концах которых подразумеваются атомы углерода. Связи С-Н при этом не изображают:

Связи заместителей с атомами углерода цепи помещают на продолжении биссектрисы соответствующего угла зигзага:

В широком смысле симметрией именуется сохранение чего-либо неизменным при каких-то преобразованиях. Обладают таким свойством и некоторые геометрические фигуры.

Геометрическая симметрия

Применительно к геометрической фигуре означает, что если данную фигуру преобразовать – например, повернуть – некоторые ее свойства останутся прежними.

Возможность таких преобразований различается от фигуры к фигуре. Например, круг можно сколько угодно вращать вокруг точки, расположенной в его центре, он так и останется кругом, ничто для него не изменится.

Понятие симметрии можно объяснить, не прибегая к вращению. Достаточно провести через центр круга прямую и построить в любом месте фигуры перпендикулярный ей отрезок, соединяющий две точки на окружности. Точка пересечения с прямой будет делить на две части, которые будут равны друг другу.

Иными словами, прямая разделила фигуру на две равные части. Точки частей фигуры, расположенные на прямых, перпендикулярных данной, находятся на равном расстоянии от нее. Вот эта пряма и будет называться осью симметрии. Симметрия такого рода – – называется осевой симметрией.

Количество осей симметрии

У количество будет различным. Например, у круга и шара таких осей множество. У равностороннего треугольника осью симметрии будет перпендикуляр, опущенный на каждую из сторон, следовательно, у него три оси. У квадрата и прямоугольника можно провести четыре оси симметрии. Две из них перпендикулярны сторонам четырехугольников, а две другие являются диагоналями. А вот у равнобедренного треугольника ось симметрии только одна, располагающаяся меду равными его сторонами.

Осевая симметрия встречается и в природе. Ее можно наблюдать в двух вариантах.

Первый вид – радиальная симметрия, предполагающая наличие нескольких осей. Она характерна, например, для морских звезд. Более высокоразвитым организмам присуща билатеральная, или двусторонняя симметрия с единственной осью, делящей тело на две части.

Человеческому телу тоже присуща билатеральная симметрия, но идеальной ее назвать нельзя. Симметрично расположены ноги, руки, глаза, легкие, но не сердце, печень или селезенка. Отклонения от билатеральной симметрии заметны даже внешне. Например, крайне редко бывает так, чтобы у человека на обеих щеках были одинаковые родинки.

Цели:

• образовательные:
  • дать представление о симметрии;
  • познакомить с основными видами симметрии на плоскости и в пространстве;
  • выработать прочные навыки построения симметричных фигур;
  • расширить представления об известных фигурах, познакомив со свойствами, связанных с симметрией;
  • показать возможности использования симметрии при решении различных задач;
  • закрепить полученные знания;
• общеучебные:
  • научить настраивать себя на работу;
  • научить вести контроль за собой и соседом по парте;
  • научить оценивать себя и соседа по парте;
• развивающие:
  • активизировать самостоятельную деятельность;
  • развивать познавательную деятельность;
  • учить обобщать и систематизировать полученную информацию;
• воспитательные:
  • воспитываать у учащихся “чувство плеча”;
  • воспитывать коммуникативность;
  • прививать культуру общения.

ХОД УРОКА

Перед каждым лежат ножницы и лист бумаги.

Задание 1 (3 мин).

– Возьмем лист бумаги, сложим его попалам и вырежем какую-нибудь фигурку. Теперь развернем лист и посмотрим на линию сгиба.

Вопрос: Какую функцию выполняет эта линия?

Предполагаемый ответ: Эта линия делит фигуру пополам.

Вопрос: Как расположены все точки фигуры на двух получившихся половинках?

Предполагаемый ответ: Все точки половинок находятся на равном расстоянии от линии сгиба и на одном уровне.

– Значит, линия сгиба делит фигурку пополам так, что 1 половинка является копией 2 половинки, т.е. эта линия непростая, она обладает замечательным свойством (все точки относительно ее находятся на одинаковом расстоянии), эта линия – ось симметрии.

Задание 2 (2 мин).

– Вырезать снежинку, найти ось симметрии, охарактеризовать ее.

Задание 3 (5 мин).

– Начертить в тетради окружность.

Вопрос: Определить, как проходит ось симметрии?

Предполагаемый ответ: По-разному.

Вопрос: Так сколько осей симметрии имеет окружность?

Предполагаемый ответ: Много.

– Правильно, окружность имеет множество осей симметрии. Такой же замечательной фигурой является шар (пространственная фигура)

Вопрос: Какие еще фигуры имеют не одну ось симметрии?

Предполагаемый ответ: Квадрат, прямоугольник, равнобедренный и равносторонний треугольники.

– Рассмотрим объемные фигуры: куб, пирамиду, конус, цилиндр и т.д. Эти фигуры тоже имеют ось симметрии.Определите, сколько осей симметрии у квадрата, прямоугольника, равностороннего треугольника и у предложенных объемных фигур?

Раздаю учащимся половинки фигурок из пластилина.

Задание 4 (3 мин).

– Используя полученную информацию, долепить недостающую часть фигурки.

Примечание: фигурка может быть и плоскостной, и объемной. Важно, чтобы учащиеся определили, как проходит ось симметрии, и долепили недостающий элемент. Правильность выполнения определяет сосед по парте, оценивает, насколько правильно проделана работа.

Из шнурка одного цвета на рабочем столе выложена линия (замкнутая, незамкнутая, с самопересечением, без самопересечения).

Задание 5 (групповая работа 5 мин).

– Определить визуально ось симметрии и относительно нее достроить из шнурка другого цвета вторую часть.

Правильность выполненной работы определяется самими учениками.

Перед учащимися представлены элементы рисунков

Задание 6 (2 мин).

– Найдите симметричные части этих рисунков.

Для закрепления пройденного материала предлагаю следующие задания, предусмотренные на 15 мин.:

Назовите все равные элементы треугольника КОР и КОМ. Каков вид этих треугольников?

2. Начертите в тетради несколько равнобедренных треугольников с общим основанием равным 6 см.

3. Начертите отрезок АВ. Постройте прямую перпендикулярную отрезку АВ и проходящую через его середину. Отметьте на ней точки С и D так, чтобы четырехугольник АСВD был симметричен относительно прямой АВ.

– Наши первоначальные представления о форме относятся к очень отдаленной эпохе древнего каменного века – палеолита. В течение сотен тысячелетий этого периода люди жили в пещерах, в условиях мало отличавшихся от жизни животных. Люди изготовляли орудия для охоты и рыболовства, вырабатывали язык для общения друг с другом, а в эпоху позднего палеолита украшали свое существование, создавая произведения искусства, статуэтки и рисунки, в которых обнаруживается замечательное чувство формы.
Когда произошел переход от простого собирания пищи к активному ее производству, от охоты и рыболовства к земледелию, человечество вступает в новый каменный век, в неолит.
Человек неолита обладал острым чувством геометрической формы. Обжиг и раскраска глиняных сосудов, изготовление камышовых циновок, корзин, тканей, позже – обработка металлов вырабатывали представления о плоскостных и пространственных фигурах. Неолитические орнаменты радовали глаз, выявляя равенство и симметрию.
– А где в природе встречается симметрия?

Предполагаемый ответ: крылья бабочек, жуков, листья деревьев…

– Симметрию можно наблюдать и в архитектуре. Строя здания, строители четко придерживаются симметрии.

Поэтому здания получаются такие красивые. Также примером симметрии служит человек, животные.

Задание на дом:

1. Придумать свой орнамент, изобразить его на листе формат А4 (можно нарисовать в виде ковра).
2. Нарисовать бабочек, отметить, где присутствуют элементы симметрии.

«Симметрия » в переводе с греческого означает «соразмерность» (повторяемость). Симметричные тела и предметы состоят из равнозначных, правильно повторяющихся в пространстве частей. Особенно разнообразна симметрия кристаллов. Различные кристаллы отличаются большей или меньшей симметричностью. Она является их важнейшим и специфическим свойством, отражающим закономерность внутреннего строения.

По более точному определению симметрия – это закономерная повторяемость элементов (или частей) фигуры или какого-либо тела, при которой фигура совмещается сама с собой при некоторых преобразованиях (вращение вокруг оси, отражение в плоскости). Подавляющее большинство кристаллов обладает симметрией.

Понятие симметрии включает в себя составные части – элементы симметрии. Сюда относятся плоскость симметрии , ось симметрии , центр симметрии , или центр инверсии .

Плоскость симметрии делит кристалл на две зеркально равные части. Обозначается она буквой Р. Части, на которые плоскость симметрии рассекает многогранник, относятся одна к другой, как предмет к своему изображению в зеркале разные кристаллы имеют различное количество плоскостей симметрии, которое ставится перед буквой Р. Наибольшее количество таких плоскостей у природных кристаллов – девять 9Р. В кристалле серы насчитывается 3Р, а у гипса только одна. Значит, в одном кристалле может быть несколько плоскостей симметрии. В некоторых кристаллах плоскость симметрии отсутствует.

Относительно элементов ограничения плоскость симметрии может занимать следующее положение:

1. проходит через ребра;
2. лежать перпендикулярно к ребрам в их серединах;
3. проходить через грань перпендикулярно к ней;
4. пересекать гранные углы в их вершинах.

В кристаллах возможны следующие количества плоскостей симметрии: 9Р, 7Р, 6Р, 5Р, 4Р, 3Р, 2Р, Р, отсутствие плоскости симметрии.

Ось симметрии

Ось симметрии – воображаемая ось, при повороте вокруг которой на некоторый угол фигура совмещается сама с собой в пространстве. Она обозначается буквой L. У кристаллов при вращении вокруг оси симметрии на полный оборот одинаковые элементы ограничения (грани, ребра, углы) могут повторяться только 2, 3, 4, 6 раз. Соответственно этому оси будут называться осями симметрии второго, третьего, четвертого и шестого порядка и обозначаться: L2, L3, L4 и L6.Порядок оси определяется числом совмещений при повороте на 360⁰С.

Ось симметрии первого порядка не принимается во внимание, так как ею обладают вообще не фигуры, в том числе и несимметричные. Количество осей одного и того же порядка пишут перед буквой L: 6L6, 3L4 и т.п.

Центр симметрии

Центр симметрии – это точка внутри кристалла, в которой пересекаются и делятся пополам линии, соединяющие одинаковые элементы ограничения кристалла (грани, ребра, углы). Обозначается она буквой С. Практически присутствие центра симметрии будет сказываться в том, что каждое ребро многогранника имеет параллельное себе ребро, каждая грань – такую же параллельную себе зеркально-обратную грань. Если же в многограннике присутствуют грани, не имеющие себе параллельных, то такой многогранник не обладает центром симметрии.

Достаточно поставить многогранник гранью на стол, чтобы заметить, имеется ли сверху такая же параллельная ей зеркально-обратная грань. Конечно, на параллельность нужно проверить все типы граней.

Существует ряд простых закономерностей, по которым сочетаются друг с другом элементы симметрии. Значение этих правил облегчает их нахождение.

1. Линия пересечения двух или нескольких плоскостей является осью симметрии. Порядок такой оси равен числу пересекающихся в ней плоскостей.
2. L6 может присутствовать в кристалле только в единственном числе.
3. С L6 не могут комбинироваться ни L4, ни L3, но может сочетаться L2 причем L6 и L2 должны быть перпендикулярны; в таком случае присутствует 6L2.
4. L4 может встречаться в единственном числе или трех взаимно перпендикулярных осей.
5. L3 может встречаться в единственном числе или с 4L3.

Степенью симметрии называется совокупность всех элементов симметрии, которыми обладает данный кристалл.

Кристалл, имеющий форму куба, обладает высокой степенью симметрии. В нем присутствуют три оси симметрии четвертого порядка (3L4), проходящие через середины граней куба, четыре оси симметрии третьего порядка (4L3), проходящие через вершины трехгранных углов, и шесть осей второго порядка (6L2), проходящих через середины ребер. В точке пересечения осей симметрии располагается центр симметрии куба (С). Кроме того, в кубе можно провести девять плоскостей симметрии (9Р). Элементы симметрии кристалла можно изобразить кристаллографической формулой.

Для куба формула имеет вид: 9P, 3L4, 4L3, 6L2, C.

Русский ученый А.В. Гадолин в 1869 г. показал, что у кристаллов возможны 32 различных сочетания элементов симметрии, составляющих классы (виды) симметрии. Таким образом, класс объединяет группу кристаллов с одинаковой степенью симметрии.